ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

Si la circunferencia tiene centro en el origen, la ecuación es:

x2 + y2 = r2

donde x y y denotan a las coordenadas rectangulares de un punto de la curva y r es el radio de la circunferencia. Esta forma es en realidad el Teorema de Pitágoras donde se consideran todos los triángulos rectángulos con hipotenusa constante e igual a r.

Si el centro de la circunferencia se encuentra fuera del origen, en las coordenadas (h,k), la ecuación queda:

(x-h)2 + (y-k)2 = r2.

También es posible calcular el centro y radio de un círculo sabiendo tres puntos por los que pasa.

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de una línea recta llamada directriz y un punto fijo llamado foco. El punto de la curva más cercano a la directriz se llama vértice. A la recta que pasa por el foco y el vértice se denomina eje focal.

Deduciremos la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las abcisas. Podemos fijar a la directriz como una recta de ecuación x=p, siendo p cualquier constante real. Luego denominamos a un punto de la parábola por sus coordenadas (x, y). Vamos a considerar que el foco está ubicado en (-p, 0), por simplicidad. Según estas condiciones podemos plantear:

|x-p| = [(x+p)2 + y2]1/2

(x-p)2 = (x+p)2 + y2

x2 - 2px + p2 = x2 + 2px + p2 + y2

Simplificando y reordenando:

y2 = 4px

Algunos autores manejan también la ecuación y2 = 2px, siendo la ecuación de la directriz x=p/2 y las coordenadas del foco (-p/2,0). Esto significa que nuestra ecuación original considera como 2p la distancia entre el foco y el vértice, mientras que con este cambio la distancia es simplemente p.

Sustituyendo en nuestro planteamiento original las ordenadas por las abcisas y viceversa, obtenemos una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las ordenadas, es decir x2= 4py.

Si el vértice se encuentra en las coordenadas (h,k) entones la ecuación se transforma en:

(y-k)2 = 4p(x-h)

De la misma manera:

(x-h)2= 4p(y-k)

Elipse

La elipse es simplemente una transformación de afinidad de la circunferencia. Aquellos que tengan una calculadora graficadora notarán que si grafican un círculo y cambian los factores de escala de ambos ejes de tal manera que sean diferentes, el círculo se achata o se estira tomando forma de elipse.

Usemos la ecuación de una circunferencia unitaria:

x2 + y2 = 1

Ahora supongamos que las abcisas y las ordenadas cambian en factores a y b, siendo a y b números reales positivos diferentes de cero. Eso significa que si “graficamos” con estos cambios las nuevas coordenadas de un punto (x,y) serán (x/a,y/b). Eso deja nuestra ecuación del circulo unitario de la siguiente forma:

(x/a)2 + (y/b)2 = 1

Por supuesto, ahora ya no es un círculo. En vez de diámetro tiene ahora dos ejes: uno mayor y otro menor. Si a>b entonces el eje mayor está sobre el eje de las abcisas y tiene un valor de 2a. Caso contrario está sobre el eje de las ordenadas y vale 2b. Algunos autores, cuando esto ocurre, cambian la ecuación a (x/b)2 + (y/a)2 = 1, para que siempre el valor de a sea el semieje mayor.

Podemos cambiar el centro de la elipse a coordenadas (h,k) y escribir:

(x-h)2/a2 + (y-k)2/b2 = 1

¿La definición clásica? Ah, sí. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de su distancia a otros dos llamados focos es siempre constante.

Esa definición nos permite encontrar la llamada distancia focal entre el centro y cualquiera de los focos, que se representa como c. Se ve fácilmente que:

(a+c)+ (a-c) = 2(c2 + b2)1/2

2a = 2(c2 + b2)1/2

a2 = c2 + b2

c2 = a2 - b2

Considerando a un punto extremo de cada eje.

Hipérbola

Una hipérbola, igual que una elipse, tiene dos focos. La definición de su lugar geométrico se consigue copiando y pegando la de la elipse cambiando la palabra “suma” por “diferencia”:

Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de su distancia a otros dos llamados focos es siempre constante.

Suponiendo que los focos están en (c,0) y (-c,0), lo que hemos dicho se traduce en lo siguiente:

[(x-c)+y2]1/2+[(x+c)+y2]1/2 = k

Elevando al cuadrado, aislando el radical que queda, elevando de nuevo al cuadrado, cancelando lo que tiene que ser cancelado, agrupando a los términos que tienen a la x y a la y y dividiendo lo que queda del lado derecho, nos queda:

[4×2/k2]-[4y2/(4c2-k2)]=1.

Considerando un punto con y = 0 y x > 0, tenemos 4×2=k2. Si llamamos a a este valor de abcisa llegamos a 2a=k. Al hacer b2= c2-a2, por fin obtenemos la ecuación que es muy parecida a la de la elipse,

x2/a2-y2/b2=1.