LAS MATEMATICAS PROFETICAS: octubre 2010

jueves, 7 de octubre de 2010

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA.

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica .^[1] ^[2] ^[3] ^[4] ^[5]
Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.
Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
- punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro

Ecuaciones de la circunferencia

[editar] Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\,$ .

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

$x^2 + y^2 = r^2\,$ .

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,

$(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2 \,$

se deduce:

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,$

resultando:

$a = \frac{-D}{2}$

$b = \frac{-E}{2}$

$r = \sqrt{a^2 + b^2-F}$

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\,$ ,
la ecuación de la circunferencia es:

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,$

[editar] Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: $\vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \,$ .Donde $\theta \,$ es el parámetro de la curva, además cabe destacar que $\theta\in[0,2\pi)$ . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.

[editar] Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como $(r,\theta) \,$

$r=c. \,$

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto $(s,\alpha) \,$ y el radio es $c \,$ , la ecuación se transforma en:

$r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2$

[editar] Ecuación en coordenadas paramétricas

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

$x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]$

y con funciones racionales como

$x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty$

ECUACION DE LA RECTA.

En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x y y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Geometría analítica de la recta en el plano
La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Ecuación de la recta

En una recta, la pendiente $m\,$ es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: $m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)$
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

$y - y_1 = m (x - x_1)\!$

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente

m

es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto

P 1 = (x 1, y 1)

y tiene la pendiente dada

m

es:

$y - y_1 = m (x - x_1)\,$

$y - y_1 = m (x - x_1)\!$ $y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!$
$3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!$
$3y + 12 = - x + 2\!$
$x + 3y + 12 = 2\!$

$x + 3y + 10 = 0\!$

$y - y_1 = m (x - x_1)\!$ $y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!$
$3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!$
$3y + 12 = - x + 2\!$
$x + 3y + 12 = 2\!$

$x + 3y + 10 = 0\!$

LA RECTA COMO LUGAR GEOMETRICO.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:

El lugar geométrico de los $P$ que equidistan a dos puntos fijos $A$ y $B$ (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento $A B$ en su punto medio ( $(A + B) / 2$ ).

La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.

Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).

Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).

La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.

Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas están definidas como el lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos. En general, los lugares geométricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometría algebraica. q ue es radio es un circulo grande q nos sirve para poder calcular las medidas de un circulo

PROPIEDADES DE LOS SEGMENTOS RECTILINEOS

Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

Segmentos consecutivos

Segmentos consecutivos.

Dos segmento son consecutivos cuando tienen en común solamente un extremo. Según pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:

Colineales
No colineales

Los segmentos consecutivos no colineales, llamados poligonal o quebrada, pueden ser abiertos o cerrados según tengan o no extremos comunes el primer y el último segmento que lo forman.
Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.
Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Hexágono para representar un polígono regular genérico.

Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de una circunferencia.
En un polígono regular podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.

LUGAR GEOMETRICO.

El lugar geométrico de los $P$ que equidistan a dos puntos fijos $A$ y $B$ (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento $A B$ en su punto medio ( $(A + B) / 2$ ).

La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.

Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).

Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).

La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.